宁青筠是最快回过神来的,她以复杂的神色看了眼秦克,又默默地做起了自己的题目,只是眼角余光依然不时瞟向秦克。
五分钟后,对外界毫不知情的秦克重新睁开了眼睛,拿起笔刷刷刷地写了起来。
他已推演过,这题完全可以采用数学的归纳、构造法来证明!
这算是数学归纳法加构造法的高级复用了,也是他目前的数学等级“高中奥数(省级复赛)”所能熟练运用的最强最高级别数学解题法了。
“证明:当m=1时,取长为1的线段的两个端点,构成点集S,原题可证。
假设m=k时,命题成立,即存在点集Sk,对任意A∈Sk,恰有Sk中k个点到点A的距离为1.
以Sk中的每个点为圆心作半径为1的圆,这些圆两两之间的交点是有限个,设它们构成集合Tk,那么Sk∪Tk中任意两点的连线方向只有有限个。
任取一个方向的向量d不属于这个有限个方向,将Sk沿向量d平移一个单位,得到点集Sk’。
由上述向量d的取法不难验证:一方面Sk∩Sk’=Φ;另一方面,两点A∈Sk和A’∈Sk’之间的距离为1(当且仅当A’是由A平移所得)。
当m=k+1时,令Sk+1=Sk∪Sk’,对任意A∈Sk+1,不失一般性,设A∈Sk,根据归纳假设,恰有Sk中k个点与点A的距离为1,又Sk’中一点与点A的距离为1,由此可得出Sk=1中k+1个点与点A的距离为1,由此可证当m=k+1时,命题成立。
由数学归纳法可知,对任意下正整数m,平面内存在满足题意的点集S。
原题得证。”
放下笔,秦克只觉得痛快至极,忍不住一遍遍地看着自己的证明过程,就像看着得意之作。
事实上他确实很值得自豪,这里他先将最简单的m=1情形构造出来,再通过平移点集后取并集的手法来实现归纳过渡,将目前掌握的省级奥赛数学思维运用到了极致!
站在秦克身后的副校长和一众数学老师则是完全被惊住了。
他们亲眼目睹了秦克从审题、思考到证明完毕的全过程,不过区区七分钟左右,没用草稿,直接一气呵成地将证明过程以端正的字迹写在卷子的答题区上!
这还是他们第一次看到有学生做奥数题目没用到草稿纸,而且这些证明过程,在场一些年轻的老师甚至要仔细反复地琢磨才看得明白、才勉强跟得上秦
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